A quoi sert les fonctions dérivées ?
La dérivation est utilisée dans de nombreux domaines tels que la physique, l’ingénierie, l’économie et bien d’autres, car elle permet d’analyser les variations des fonctions et d’optimiser des processus.
A quel moment utilise-t-on les fonctions dérivées ?
En mathématiques, au lycée, on utilise la dérivation essentiellement pour les 3 points suivants :
-vérifier si une fonction est dérivable.
– déterminer les variations d’une fonction.
-connaître le coefficient directeur (« pente ») d’une droite (cette droite peut être une tangente à une courbe) grâce au nombre dérivé.
Quelle est la définition d’une fonction dérivée ?
Une fonction dérivée est une fonction qui associe à chaque point d’une fonction donnée son taux de variation instantané, c’est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
Comment distinguer fonction initiale et fonction dérivée ?
Très souvent, pour nommer une fonction, nous utilisons la lettre f. On peut très bien utiliser une autre lettre, cela n’est pas un problème.
Si on utilise la lettre f pour la fonction initiale alors on nommera f’ sa fonction dérivée (on prononcera « f prime »).
Liste de fonctions usuelles
Voici la liste des différentes fonctions usuelles que vous allez souvent retrouver. On les appelles fonctions usuelles car ce sont des fonctions très basiques.
La plupart du temps ces fonctions usuelles seront accompagnées juste devant d’un coefficient (un nombre qui viendra les multiplier).
Exemple 1
$\color{blue}f(x)\color{black}=\color{blue}x²$ est une fonction usuelle mais on pourra retrouver dans les exercices $\color{blue}f(x)\color{black}=\color{green}4\color{blue}x²\ \color{black}(\color{blue}x²$ est multiplié par $\color{green}4$)
Exemple 2
$\color{blue}f(x)\color{black}=\color{blue}\sqrt{x}$ est une fonction usuelle mais on pourra retrouver dans les exercices $\color{blue}f(x)\color{black}=\color{green}16\color{blue}\sqrt{x}\ \color{black}(\color{blue}\sqrt{x}$ est multiplié par $\color{green}16$)
Dérivées de fonctions usuelles
Pour chaque fonction usuelle, ce tableau fait correspondre sa dérivée :
A gauche du tableau on a la fonction de départ et à droite sa dérivée associée.
Si ces fonctions usuelles sont accompagnées d’un coefficient devant, il suffit de multiplier sa dérivée par ce coefficient.
Exemple 1
$\color{blue}f(x)\color{black}=\color{blue}x\color{purple}²$ a pour dérivée $\color{red}f'(x)\color{black}=\color{purple}2\color{red}x$ d’après le tableau donc $\color{blue}f(x)\color{black}=\color{green}5\color{blue}x\color{purple}²$ aura pour dérivée $\color{red}f'(x)=\color{green}5\ \color{black}\times\ \color{purple}2\color{blue}x$ c’est à dire $\color{red}f'(x)=10x$
Exemple 2
$\color{blue}f(x)\color{black}=\color{blue}\sqrt{x}$ a pour dérivée $\color{red}f'(x)\color{black}=\color{red}\frac{1}{2\sqrt{x}}$ d’après le tableau donc $\color{blue}f(x)\color{black}=\color{green}3\color{blue}\sqrt{x}$ a pour dérivée $\color{red}f'(x)\color{black}=\color{green}3\ \color{black}\times\ \color{red}\frac{1}{2\sqrt{x}}$ c’est à dire $\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{green}3}{\color{red}2\sqrt{x}}$
Histoire des fonctions dérivées
Naissance de la notion de dérivée
Théorie des fonctions analytiques
Somme de fonctions
La dérivée d’une somme de fonctions se fait en faisant la somme des dérivées de chaque fonction.
Exemple 1
Soit 𝑓 la fonction définie pour tout $x∈R$ par $\color{blue}f(x)\color{black}=\color{green}x^3\color{purple}−2x\color{grey}−4$
On peut identifier une somme de 3 fonctions : la fonction égale à $\color{green}x^3$, une autre fonction égale à $\color{purple}-2x$ et une dernière fonction égale à $\color{grey}-4$.
La dérivée de $\color{green}x^3$ est $\color{green}3x²$
La dérivée de $\color{purple}-2x$ est $\color{purple}-2$
La dérivée de $\color{grey}-4$ est $\color{grey}0$ car $\color{grey}-4$ est une constante (ne dépend pas de x).
La dérivée de cette somme de fonction est donc :$\color{red}f'(x)\color{black}=\color{green}3x^2\color{purple}−2\color{grey}+0\color{balck}=\color{green}3x^2\color{purple}−2$
Produit de fonctions
Lorsqu’on multiplie 2 fonctions, par exemple $\color{blue}f(x) = \color{brown}u(x)\color{black}\times\color{green}v(x)$ alors il existe une formule pour calculer la dérivée de f :
$\color{red}\boxed{\color{red}f'(x)\color{black}=\color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\color{black}+\color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)}$
Exemple 1
Soit 𝑓 la fonction définie pour tout $x∈R$ par $\color{blue}f(x)\color{black}=\color{brown}3x^4\color{black}\times\ \color{green}5x^2$
Calculer la fonction dérivée f'(x).
1ère étape : on choisit la bonne formule qui est $\color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\color{black}+\color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)$
2ème étape : on identifie $\color{brown}u(x)\ \color{black};\ \color{orange}u'(x)\ \color{black};\ \color{green}v(x)\ \color{black};\ \color{cyan}v'(x)$
On prend par exemple $\color{brown}u(x)\ \color{black}=\ \color{brown}3x^4$
Donc $\color{orange}u'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}4 \times3x^3\ \color{black}=\ \color{orange}12x^3$
Il reste alors $\color{green}v(x)\ \color{black}=\ \color{green}5x^2$
Donc $\color{cyan}v'(x)\ \color{black}=\ \color{cyan}2 \times 5x\ \color{black}=\ \color{cyan}10x$
3ème étape : on applique la formule $\color{red}f'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\color{black}+\color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)$
$\color{red}f'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}12x^3\color{black}\times \color{green}5x^2\color{black}+\color{cyan}10x\color{black}\times \color{brown}3x^4$
$\color{red}f'(x)\ \color{black}=\ \color{red}60x^5\ \color{black}+\ \color{red}30x^5\ \color{black}=\ \color{red}90x^5$
Exemple 2
Soit 𝑓 la fonction définie pour tout $x∈R^+$ par $\color{blue}f(x)\color{black}=\color{brown}5\ ln(x)\color{black}\times\ \color{green}\frac{4}{x}$
1ère étape : on choisit la bonne formule qui est $\color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\color{black}+\color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)$
2ème étape : on identifie $\color{brown}u(x)\ \color{black};\ \color{orange}u'(x)\ \color{black};\ \color{green}v(x)\ \color{black};\ \color{cyan}v'(x)$
On prend par exemple $\color{brown}u(x)\ \color{black}=\ \color{brown}5\ ln(x)$
Donc $\color{orange}u'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}5\ \color{black}\times \color{orange}\frac{1}{x}\ \color{black}=\ \color{orange}\frac{5}{x}$
Il reste alors $\color{green}v(x)\ \color{black}=\ \color{green}\frac{4}{x}$
Donc $\color{cyan}v'(x)\ \color{black}=\ \color{cyan}4 \times\ (-\frac{1}{x^2})\ \color{black}=\ \color{cyan}\frac{-4}{x^2}$
3ème étape : on applique la formule $\color{red}f'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\color{black}+\color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)$
$\color{red}f'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}\frac{5}{x}\color{black}\times \color{green}\frac{4}{x}\color{black}+\color{cyan}\frac{-4}{x^2}\color{black}\times \color{brown}5\ ln(x)$
En simplifiant, on obtient $\color{red}f'(x)\ \color{black}=\ \color{red}\frac{20}{x^2}\color{black}\ -\ \color{red}\frac{20}{x^2}\ \color{black}\times \color{red}ln(x)$
Ainsi, $\color{red}f'(x)\ \color{black}=\ \color{red}\frac{20}{x^2}(1\ \color{black}-\ \color{red}ln(x))$
Quotient de fonctions
Lorsqu’on divise 2 fonctions, par exemple $\color{blue}f(x) = \frac{\color{brown}u(x)}{\color{green}v(x)}$ alors il existe une formule pour calculer la dérivée de f :
$\color{red}\boxed{\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\ \color{black}-\ \color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)}{\color{green}v^2(x)}}$
Exemple 1
Soit 𝑓 la fonction définie pour tout $x∈R^*$ par $\color{blue}f(x)\color{black}=\frac{\color{brown}sin(x)}{\color{green}4x^6}$
Calculer la fonction dérivée f'(x).
1ère étape : on choisit la bonne formule qui est $\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\ \color{black}-\ \color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)}{\color{green}v^2(x)}$
2ème étape : on identifie $\color{brown}u(x)\ \color{black};\ \color{orange}u'(x)\ \color{black};\ \color{green}v(x)\ \color{black};\ \color{cyan}v'(x)$
On prend par exemple $\color{brown}u(x)\ \color{black}=\ \color{brown}sin(x)$
Donc $\color{orange}u'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}cos(x)$
Il reste alors $\color{green}v(x)\ \color{black}=\ \color{green}4x^6$
Donc $\color{cyan}v'(x)\ \color{black}=\ \color{cyan}6 \times 4x^5\ \color{black}=\ \color{cyan}24x^5$
3ème étape : on applique la formule $\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\ \color{black}-\ \color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)}{\color{green}v^2(x)}$
$\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}cos(x)\color{black}\times \color{green}4x^6\ \color{black}-\ \color{cyan}24x^5\color{black}\times \color{brown}sin(x)}{\color{green}(4x^6)^2}$
$\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}cos(x)\color{black}\times \color{green}4x^6\ \color{black}-\ \color{cyan}24x^5\color{black}\times \color{brown}sin(x)}{\color{green}4x^{12}}$
En simplifiant par $4x^5$, on obtient $\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{red}cos(x)\color{black}\times \color{red}x\ \color{red}-\ \color{red}6\color{black}\times \color{red}sin(x)}{\color{red}x^7}$
Exemple 2
Soit 𝑓 la fonction définie pour tout $x∈R^*$ par $\color{blue}f(x)\color{black}=\frac{\color{brown}15e^x}{\color{green}cos(x)}$
Calculer la fonction dérivée f'(x).
1ère étape : on choisit la bonne formule qui est $\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\ \color{black}-\ \color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)}{\color{green}v^2(x)}$
2ème étape : on identifie $\color{brown}u(x)\ \color{black};\ \color{orange}u'(x)\ \color{black};\ \color{green}v(x)\ \color{black};\ \color{cyan}v'(x)$
On prend par exemple $\color{brown}u(x)\ \color{black}=\ \color{brown}15e^x$
Donc $\color{orange}u'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}15e^x$
Il reste alors $\color{green}v(x)\ \color{black}=\ \color{green}cos(x)$
Donc $\color{cyan}v'(x)\ \color{black}=\ \color{cyan}-sin(x)$
3ème étape : on applique la formule $\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}u'(x)\color{black}\times \color{green}v(x)\ \color{black}-\ \color{cyan}v'(x)\color{black}\times \color{brown}u(x)}{\color{green}v^2(x)}$
$\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}15e^x\color{black}\times \color{green}cos(x)\ \color{black}-\ (\color{cyan}-sin(x)\color{black}\times \color{brown}15e^x\color{black})}{\color{green}cos^2(x)}$
$\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{orange}15e^x\color{black}\times \color{green}cos(x)\ \color{black}+\ \color{cyan}sin(x)\color{black}\times \color{brown}15e^x}{\color{green}cos^2(x)}$
En factorisant, on obtient $\color{red}f'(x)\color{black}=\frac{\color{red}15e^x\color{black}( \color{red}cos(x)\ \color{black}+\ \color{red}sin(x)\color{black})}{\color{red}cos^2(x)}$
Les fonctions composées
Une deuxième fonction peut être identifiée à la place de la variable x d’une première fonction.
On a « une fonction dans une fonction« .
C’est ce que l’on appelle une fonction composée.
Qu’est-ce qu’une fonction composée ?
Si on peut identifier deux fonctions différentes alors habituellement on les note f o g (on dit « f rond g »). Et cela se note également f(g(x)).
On peut aussi les noter g o h (on dit « g rond h »). Et cela se note g(h(x)).
Exemple 1
Prenons la fonction $f(x)=\color{green}5\color{red}\sqrt{x}$ qui fait apparaître la fonction $\color{red}racine\ carrée$.
Cette fonction n’est pas composée, elle est seulement multipliée par le chiffre 5.
Maintenant, prenons $f(x)=\color{green}5\color{red}\sqrt{\color{blue}ln(x)}$.
Cette fois nous retrouvons bien 2 fonctions usuelles (de base) bien connues : la fonction racine carrée et la fonction logarithme népérien. C’est donc bien une fonction composée. Il y a aussi un coefficient multiplicateur de 5 devant ces 2 fonctions.
Etape 1 : Repérer qui est « g » et qui est « h ».
Pour cela, il suffit de repérer quelle fonction parmi g et h possède encore sa variable x.
On s’aperçoit que $\color{red}\sqrt{\color{blue}ln(x)}$ est différente de la forme de base de la fonction $\color{red}racine\ carrée$ qui est $\color{red}\sqrt{\color{purple}x}$. La fonction $\color{red}racine\ carrée$ ne possède plus clairement sa variable $\color{purple}x$ initiale. Cette variable $\color{purple}x$ a été remplacée par la deuxième fonction $\color{blue}ln(x)$.
En revanche, la deuxième fonction ln(x) est bien la forme de base de la fonction logarithme népérien. On identifie clairement la variable x.
Pour identifier les 2 fonctions, la fonction g est celle qui est la plus modifiée car on a remplacée sa variable x par une autre fonction. Et la fonction h est celle qui n’a pas été modifiée par rapport à sa forme de base puisqu’on visualise bien sa variable x.
Ainsi, pour cet exemple, $\color{red}g(x) = \sqrt{x}\ \color{black}et\ \color{blue}h(x)=ln(x)$.
Comment dériver une fonction composée ?
Lorsqu’on a une fonction f qui est composée, par exemple $f(x)=\color{red}g(\color{blue}h(x)\color{red})$ alors il existe une formule pour calculer la dérivée de f :
$\color{red}\boxed{\color{grey}f'(x)\color{black}=\color{purple}h'(x)\color{black}\times \color{orange}g'(\color{blue}h(x)\color{orange})}$
Exemple 1
Soit 𝑓 la fonction définie pour tout $x∈R^+\backslash\left\{0\right\}$ par $f(x)=\color{green}5\color{red}\sqrt{\color{blue}ln(x)}$
1ère étape : on choisit la bonne formule qui est $\color{grey}f'(x)\color{black}=\color{purple}h'(x)\color{black}\times \color{orange}g'(\color{blue}h(x)\color{orange})$
2ème étape : on identifie $\color{red}g(x)\ \color{black}et\ \color{blue}h(x)$
Dans cet exemple $\color{red}g(x)=\sqrt{x}\ \color{black}et\ \color{blue}h(x)=ln(x)$
Donc $\color{orange}g'(x)\ \color{black}=\ \color{orange}\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Et $\color{purple}h'(x)\ \color{black}=\ \color{purple}\frac{1}{x}$
3ème étape : on applique la formule $\color{grey}f'(x)\color{black}=\color{purple}\frac{1}{x}\color{black}\times \color{orange}\frac{1}{2\sqrt{\color{blue}ln(x)}}$
En simplifiant, on obtient $\color{grey}f'(x)\color{black}=\color{grey}\frac{1}{2x\sqrt{ln(x)}}$