Qu’est-ce qu’une fonction du second degré?
Pour reconnaître une fonction du second degré, il faut vérifier sa forme générale.
De façon générale une fonction du second degré est notée sous la forme :
$\colorbox{yellow}{\(f(x)\ =\ \color{purple}a\color{black}x\color{red}²\ +\ \color{blue}b\color{black}x\ +\ \color{green}c\)}$
Comment résoudre des problèmes avec des équations du second degré ?
Résolution graphique
Il est possible de résoudre de façon graphique des équations du second degré. Pour cela, différentes activités sont proposées sur cette page.
Résolution algébrique
Il est possible également de résoudre ces équations du second degré de façon algébrique. Pour cela, il existe plusieurs formules à utiliser (par exemple le calcul du discriminant delta « Δ ») pour trouver les solutions (que l’on appelle aussi « racines » du polynôme).
Le calcul du discriminant
La première étape pour résoudre algébriquement une équation du second degré est de calculer le discriminant que l’on note avec la lettre majuscule grecque « delta » : Δ.
On reprend la forme générale de base d’une fonction du second degré qui est :
$\colorbox{yellow}{\(f(x)\ =\ \color{purple}a\color{black}x\color{red}²\ +\ \color{blue}b\color{black}x\ +\ \color{green}c\)}$
Lorsqu’on veut calculer le discriminant delta, c’est que l’on cherche à résoudre l’équation $f(x)=0$.
Dans notre cas, on cherche à résoudre l’équation $\color{purple}a\color{black}x\color{red}²\ +\ \color{blue}b\color{black}x\ +\ \color{green}c\ \color{black}\ =\ 0$
Voici la formule pour calculer le discriminant « delta » :
$\colorbox{yellow}{\(\Delta\ =\ \color{blue}b\color{black}²\ -4\ \times\ \color{purple}a\ \times\ \color{green}c\)}$
Exemple 1
Soit la fonction du second degré $f(x)\ =\ \color{purple}1\color{black}x²\ +\ \color{blue}3\color{black}x\ \ \color{green}-\ 4$
Par identification de la forme générale, on peut dire que « a » = 1 ; « b »=3 et « c »=-4.
On calcule le discriminant :
$\Delta\ =\ \color{blue}b\color{black}²\ -4\ \times\ \color{purple}a\ \times\ \color{green}c\ \color{black}=\ \color{blue}3\color{black}²\ -4\ \times\ \color{purple}1\ \times\ \color{green}(-4)\ \color{black}=\ 9\ -4\ \times\ (-4)\ =\ 25$
On obtient Δ = 25 donc Δ>0 et ainsi l’équation aura 2 solutions qu’on va nommer x1 et x2.
Exemple 2
Soit la fonction du second degré $f(x)\ =\ \color{purple}-3\color{black}x²\ +\ \color{blue}12\color{black}x\ \ \color{green}-\ 12$
Par identification de la forme générale, on peut dire que « a » = -3 ; « b »=12 et « c »=-12.
On calcule le discriminant :
$\Delta\ =\ \color{blue}b\color{black}²\ -4\ \times\ \color{purple}a\ \times\ \color{green}c\ \color{black}=\ \color{blue}12\color{black}²\ -4\ \times\ \color{purple}(-3)\ \times\ \color{green}(-12)\ \color{black}=\ 144\ -4\ \times\ 36\ =\ 0$
On obtient Δ = 0 donc l’équation aura 1 solution double qu’on va nommer x1.
Exemple 3
Soit la fonction du second degré $f(x)\ =\ \color{purple}-2\color{black}x²\ +\ \color{blue}2\color{black}x\ \ \color{green}-\ 1$
Par identification de la forme générale, on peut dire que « a » = -2 ; « b »=2 et « c »=-1.
On calcule le discriminant :
$\Delta\ =\ \color{blue}b\color{black}²\ -4\ \times\ \color{purple}a\ \times\ \color{green}c\ \color{black}=\ \color{blue}2\color{black}²\ -4\ \times\ \color{purple}(-2)\ \times\ \color{green}(-1)\ \color{black}=\ 4\ -4\ \times\ 2\ =\ 4\ -8\ =\ -4$
On obtient Δ = -4 donc Δ<0 et ainsi l’équation n’aura pas de solution.
Les formules à utiliser pour trouver les 2 solutions ou la seule solution double
Après avoir calculer le discriminant, on peut se trouver dans 3 cas différents :
–1er cas : Δ>0 et on aura 2 solutions x1 et x2 (2 racines).
–2ème cas : Δ=0 et on aura 1 solution double x1 (1 racine).
–3ème cas : Δ<0 et on aura aucune solution possible.
1er cas : Δ>0 et on aura 2 solutions x1 et x2
Dans ce cas on va utiliser 2 formules presque semblables pour trouver les 2 solutions :
$\colorbox{yellow}{\(\color{brown}x_1\ \color{black}=\ \frac{\color{blue}-b\ \color{black}+\ \sqrt{\Delta}}{2\ \times\ \color{purple}a}\)}$
$\colorbox{yellow}{\(\color{green}x_2\ \color{black}=\ \frac{\color{blue}-b\ \color{black}-\ \sqrt{\Delta}}{2\ \times\ \color{purple}a}\)}$
Exemple 1
Reprenons l’exemple de la fonction $f(x)\ =\ \color{purple}1\color{black}x²\ +\ \color{blue}3\color{black}x\ \ \color{green}-\ 4$
On avait obtenu Δ = 25 donc Δ>0 et ainsi 2 solutions x1 et x2 à trouver.
En appliquant les formules, on obtient :
$\color{brown}x_1\ \color{black}=\ \frac{\color{blue}-3\ \color{black}+\ \sqrt{25}}{2\ \times\ \color{purple}1}\ \color{black}=\ \frac{-3\ +\ 5}{2}\ \color{black}=\ \frac{2}{2}\ =\ 1$
Ainsi $\color{brown}x_1\ =\ 1$
$\color{green}x_2\ \color{black}=\ \frac{\color{blue}-3\ \color{black}-\ \sqrt{25}}{2\ \times\ \color{purple}1}\ \color{black}=\ \frac{-3\ -\ 5}{2}\ \color{black}=\ \frac{-8}{2}\ =\ -4$
Ainsi $\color{green}x_2\ =\ -4$
Les 2 solutions de cette équation sont donc $\color{brown}x_1\ =\ 1$ et $\color{green}x_2\ =\ -4$
2ème cas : Δ=0 et on aura 1 solution double x1
Dans ce cas on va utiliser une seule formule pour trouver la solution :
$\colorbox{yellow}{\(\color{brown}x_1\ \color{black}=\ \frac{\color{blue}-b}{2\ \times\ \color{purple}a}\)}$
Exemple 2
Reprenons l’exemple de la fonction $f(x)\ =\ \color{purple}-3\color{black}x²\ +\ \color{blue}12\color{black}x\ \ \color{green}-\ 12$
On avait obtenu Δ = 0 et ainsi 1 solution double x1 à trouver.
En appliquant la formule, on obtient :
$\color{brown}x_1\ \color{black}=\ \frac{\color{blue}-12}{2\ \times\ \color{purple}(-3)}\ \color{black}=\ \frac{-12}{-6}\ \color{black}=\ 2$
Ainsi $\color{brown}x_1\ =\ 2$
La solution de cette équation est $\color{brown}x_1\ =\ 2$
3ème cas : Δ<0 et aucune solution possible
Dans ce cas là, on na va pas avoir besoin d’utiliser de formule car il n’existe aucune solution.
Exemple 3
Soit la fonction du second degré $f(x)\ =\ \color{purple}-2\color{black}x²\ +\ \color{blue}2\color{black}x\ \ \color{green}-\ 1$
On avait obtenu Δ = -4 donc Δ<0 et ainsi l’équation n’a pas de solution.
Factoriser une expression du second degré
Si lors de la résolution il y a une solution double ou 2 solutions alors l’expression est factorisable.
Si il n’est pas possible de trouver de solution alors l’expression de départ n’est pas factorisable.
1er cas : Δ>0 avec 2 solutions x1 et x2
Lorsqu’on a 2 solutions $\color{brown}x_1$ et $\color{green}x_2$, il est possible de factoriser l’expression de départ par la formule :
$\colorbox{yellow}{\(f(x)\ =\ \color{purple}a\color{black}(x\ -\ \color{brown}x_1\color{black})(x\ -\ \color{green}x_2\color{black})\)}$
Exemple 1
Reprenons l’exemple de la fonction $f(x)\ =\ \color{purple}1\color{black}x²\ +\ \color{blue}3\color{black}x\ \ \color{green}-\ 4$
On avait obtenu Δ = 25 donc Δ>0 et ainsi 2 solutions x1 et x2 ont été trouvées :
$\color{brown}x_1\ =\ 1$
$\color{green}x_2\ =\ -4$
On peut donc factoriser l’expression de départ qui était :
$f(x)\ =\ \color{purple}1\color{black}x²\ +\ \color{blue}3\color{black}x\ \ \color{green}-\ 4$
Et on obtient :
$f(x)\ =\ \color{purple}1\color{black}(x\ -\ \color{brown}1\color{black})(x\ -\ \color{green}(-4)\color{black})$
$f(x)\ =\ (x\ -\ \color{brown}1\color{black})(x\ \color{green}+\ 4\color{black})$
2ème cas : Δ=0 avec 1 solution double x1
Lorsqu’on a 1 solution double $\color{brown}x_1$, il est possible de factoriser l’expression de départ par la formule :
$\colorbox{yellow}{\(f(x)\ =\ \color{red}a\color{black}(x\ -\ \color{brown}x_1\color{black})(x\ -\ \color{brown}x_1\color{black})\)}$
OU
$\colorbox{yellow}{\(f(x)\ =\ \color{red}a\color{black}(x\ -\ \color{brown}x_1\color{black})²\)}$
Exemple 2
Reprenons l’exemple de la fonction $f(x)\ =\ \color{purple}-3\color{black}x²\ +\ \color{blue}12\color{black}x\ \ \color{green}-\ 12$
On avait obtenu Δ = 0 et ainsi 1 solution x1 a été trouvée :
$\color{brown}x_1\ =\ 2$
On peut donc factoriser l’expression de départ qui était :
$f(x)\ =\ \color{purple}-3\color{black}x²\ +\ \color{blue}12\color{black}x\ \ \color{green}-\ 12$
Et on obtient :
$f(x)\ =\ \color{purple}-3\color{black}(x\ -\ \color{brown}2\color{black})(x\ -\ \color{brown}2\color{black})$
$f(x)\ =\ \color{purple}-3\color{black}(x\ -\ \color{brown}2\color{black})²$
3ème cas : Δ<0 et aucune solution possible
Lorsqu’aucune solution n’est possible alors on ne peut pas factoriser l’expression de départ. On la laisse telle qu’elle est.
Exemple 3
Soit la fonction du second degré $f(x)\ =\ \color{purple}-2\color{black}x²\ +\ \color{blue}2\color{black}x\ \ \color{green}-\ 1$
On avait obtenu Δ = -4 donc Δ<0 et ainsi l’équation n’avait pas de solution.
On ne peut donc pas la factoriser et on peut seulement garder sa forme initiale :
$f(x)\ =\ \color{purple}-2\color{black}x²\ +\ \color{blue}2\color{black}x\ \ \color{green}-\ 1$
Résoudre algébriquement une équation du second degré à l’aide de la calculatrice
Voici quelques modèles de calculatrice les plus connues (Casio, Texas Instrument et Numworks), cliquez sur le lien pour voir la manipulation à effectuer pour trouver les solutions (racines) d’une équation du second degré :
- Casio GRAPH LITE Lycée
- Casio GRAPH 35+E
- Casio GRAPH 35+E2
- Casio GRAPH 90+E
- TI 82-Advanced
- TI-83 Premium CE
- Numworks