Pour calculer un volume, nous avons besoin de connaître sur quel solide on travaille.
En fonction de la forme du solide, la formule peut être différente pour déterminer son volume.
Il est également important de savoir convertir un volume dans l’unité qui est demandé.
Calculer le volume d’un cube
Si on ajoute une troisième dimension à un carré (la hauteur), on obtient un cube. Les trois dimensions présentent sur ce cube seront la longueur, la largeur et la hauteur. Comme ces 3 dimensions sont égales, on a la longueur, la largeur et la hauteur qui sont égales. On pourra donc nommer chaque côté du cube « c ». Le volume se calcule en multipliant ces 3 dimensions :
$\color{red}Volume\ du\ cube\ \color{black}={\color{cyan}côté\color{black}\times \color{green}côté \times \color{blue}côté\ = \color{cyan}c\color{black}\times \color{green}c\times \color{blue}c\ \color{black}= c^3}$
Exemple : calculer le volume d’un cube
Calculer le volume d’un cube dont la longueur d’un côté est de 6 cm.
Le résultat sera donné en $cm^3\ et\ en\ m^3$.
$\color{red}Volume\ du\ cube\ \color{black}={\color{cyan}6\color{black}\times \color{green}6\times \color{blue}6\ =\ 6^3\ =\ 108}$
Ainsi, le volume du cube est de $108\ cm^3\ soit\ 0,000108\ m^3.$
Calculer le volume d’un pavé droit
Un pavé droit est un rectangle auquel on a ajouté une troisième dimension (la hauteur). Les 3 dimensions qui le composent sont la longueur « L », la largeur « l » et la hauteur « h ». On multiplie la longueur, la largeur et la hauteur pour trouver le volume :
$\color{red}Volume\ du\ pavé\ droit \color{black}={\color{cyan}Longueur\color{black}\times \color{green}largeur\times \color{blue}hauteur\ = \color{cyan}L\color{black}\times \color{green}l\times \color{blue}h}$
Exemple : calculer le volume d’un pavé droit
Calculer le volume d’un pavé droit dont la longueur est de 4 m, la largeur est de 2 m et la hauteur est de 3 m.
Le résultat sera donné en $m^3\ et\ en\ dm^3$.
$\color{red}Volume\ du\ pavé\ droit \color{black}={\color{cyan}Longueur\color{black}\times \color{green}largeur\times \color{blue}hauteur\ = \color{cyan}4\color{black}\times \color{green}2\times \color{blue}3 \color{black}=\ 24 }$
Le volume du pavé droit est de $24\ m^3\ soit\ 24000\ dm^3.$
Déterminer le volume d’un cylindre
Un cylindre est un disque qui s’est vu attribuer une troisième dimension (la hauteur). C’est comme si on superposait plusieurs disques les uns sur les autres. Il va donc falloir multiplier l’aire de ce disque par la hauteur du cylindre pour obtenir le volume :
$\color{red}Volume\ du\ cylindre\color{black}= \color{green}Aire\ du\ disque\times \color{blue}hauteur\color{black} = \color{green} {\pi} \times R^2 \color{black}\times \color{blue}hauteur\color{black}= \color{green}{\pi} \color{black}\times \color{green}R^2 \color{black}\times \color{blue}h$
Exemple : calculer le volume d’un cylindre
Calculer le volume d’un cylindre dont le rayon de la base est de 4 cm et la hauteur est de 10 cm.
Le résultat sera donné en $cm^3$ et arrondi au millième. Ce résultat sera ensuite converti en $mm^3$.
$\color{red}Volume\ du\ cylindre\color{black}= \color{green}Aire\ du\ disque\times \color{blue}hauteur\color{black} = \color{green} {\pi} \times R^2 \color{black}\times \color{blue}hauteur\color{black}$
$\color{red}Volume\ du\ cylindre\color{black}= \color{green}{\pi} \color{black}\times \color{green}4^2 \color{black}\times \color{blue}10 \color{black} = 502,655$
Finalement, le volume du cylindre est de $502,655\ cm^3\ soit\ 502655\ mm^3.$
Calculer le volume d’un cône
Le cône est également appelé cône de révolution. La base d’un cône est un disque, comme pour le cylindre. On ajoute également la hauteur pour avoir une troisième dimension. Par contre, l’aire de la surface du disque se réduit lorsqu’on prend de la hauteur. Le volume d’un cône est 3 fois plus petit que celui d’un cylindre :
$\color{red}Volume\ du\ cône\color{black}= \frac{\color{green}Aire\ du\ disque\times \color{blue}hauteur\color{black}}{3} = \frac{\color{green} {\pi} \times R^2 \color{black}\times \color{blue}hauteur\color{black}}{3} = \frac{\color{green}{\pi} \color{black}\times \color{green}R^2 \color{black}\times \color{blue}h}{3}$
Exemple : calculer le volume d’un cône
Calculer le volume d’un cône dont le rayon de la base est de 3 mm et la hauteur est de 8 mm.
Le résultat sera donné en $mm^3$ et arrondi à l’unité. Ce résultat sera ensuite converti en $cm^3$.
$\color{red}Volume\ du\ cône\color{black}= \frac{\color{green}Aire\ du\ disque\times \color{blue}hauteur\color{black}}{3} = \frac{\color{green} {\pi} \times R^2 \color{black}\times \color{blue}hauteur\color{black}}{3} = \frac{\color{green}{\pi} \color{black}\times \color{green}3^2 \color{black}\times \color{blue}8}{3} \color{black}=\ 75$
Au final, le volume du cône est de $75\ mm^3\ soit\ 0,075\ cm^3.$
Calculer le volume d’une pyramide
Il existe principalement 2 types de pyramides : les pyramides à base carrée et les pyramides à base triangulaire. Pour calculer le volume de chacune d’elle, on utilise une formule différente puisque la forme géométrique de la base n’est pas la même.
Volume d’une pyramide à base carrée
On reconnaît facilement ce solide grâce à l’Egypte. La base est formée par un carré. On ajoute de la hauteur pour avoir une troisième dimension. L’aire de la surface du carré se réduit lorsqu’on prend de la hauteur. Le volume est alors 3 fois plus petit qu’avec des dimensions d’un carré qui resteraient constantes :
$\color{red}Volume\ pyramide\ base\ carrée\color{black}= \frac{\color{green}Aire\ du\ carré\times \color{blue}hauteur\color{black}}{3} = \frac{\color{green}côté\color{black}\times \color{green}côté\times \color{blue}hauteur\color{black}}{3} = \frac{\color{green}c\color{black}\times \color{green}c\color{black}\times \color{blue}h}{3}$
Exemple : calculer le volume d’une pyramide à base carrée
Calculer le volume d’une pyramide à base carrée dont le côté de la base est de 5 dm et la hauteur est de 6 dm.
Le résultat sera donné en $dm^3.$ Ce résultat sera ensuite converti en $mm^3$.
$\color{red}Volume\ pyramide\ base\ carrée\color{black}= \frac{\color{green}Aire\ du\ carré\times \color{blue}hauteur\color{black}}{3} = \frac{\color{green}côté\color{black}\times \color{green}côté\times \color{blue}hauteur\color{black}}{3} = \frac{\color{green}5\color{black}\times \color{green}5\color{black}\times \color{blue}6}{3} \color{black}= 50$
Le volume de la pyramide à base carrée est de $50\ dm^3\ soit\ 50000000\ mm^3.$
Volume d’une pyramide à base triangulaire (tétraèdre régulier)
Contrairement à la pyramide à base carrée, celle-ci possède une base triangulaire. Le volume se calcule quasiment de la même façon : seul le calcul de la base change puisque la forme n’est pas la même. On ajoute de la hauteur pour avoir une troisième dimension. L’aire de la surface du triangle se réduit lorsqu’on prend de la hauteur. Le volume est alors 3 fois plus petit qu’avec des dimensions d’un triangle qui resteraient pareils :
$\color{red}Volume\ pyramide\ base\ triangulaire\color{black}= \frac{\color{green}Aire\ du\ triangle\times \color{blue}hauteur\ pyramide\color{black}}{3}$
$\color{red}Volume\ pyramide\ base\ triangulaire\color{black}= \frac{\color{orange}base\ triangle\color{black}\times \color{green}hauteur\ triangle\times \color{blue}hauteur\ pyramide\color{black}}{3}$
Exemple : calculer le volume d’un tétraèdre
Calculer le volume d’une pyramide à base triangulaire dont la longueur de base du triangle est de 50 mm, la hauteur du triangle est de 15 mm et la hauteur de la pyramide est de 140 mm.
Le résultat sera donné en $mm^3.$ Ce résultat sera ensuite converti en $m^3$.
$\color{red}Volume\ pyramide\ base\ triangulaire\color{black}= \frac{\color{orange}base\ triangle\color{black}\times \color{green}hauteur\ triangle\times \color{blue}hauteur\ pyramide\color{black}}{3} \color{black}$
$\color{red}Volume\ pyramide\ base\ triangulaire\color{black}= \frac{\color{orange}50 \times \color{green}15 \times \color{blue}140\ \color{black}}{3}\ =\ 35000$
Donc le volume du tétraèdre est de $35000\ mm^3\ soit\ 0,000035\ m^3.$
Déterminer le volume d’une boule
Le volume de la boule va dépendre du rayon de celle-ci. Plus il sera important et plus la valeur du volume augmentera :
$\color{red}Volume\ boule \color{black}= \frac{4}{3} \times \color{orange}\pi \color{black}\times \color{green}R^3$
Exemple : calculer le volume d’une boule
Calculer le volume d’une boule de rayon 1,5m.
Le résultat sera arrondi au millième et donné en $m^3.$ Ce résultat sera ensuite converti en $dm^3$.
$\color{red}Volume\ boule \color{black}= \frac{4}{3} \times \color{orange}\pi \color{black}\times \color{green}1,5^3 \color{black}=\ 14,137$
Ainsi, le volume de la boule est de $14,137\ m^3\ soit\ 14137\ dm^3.$
Calculer le volume d’un prisme
Un prisme est un triangle auquel on a ajouté une troisième dimension : sa hauteur. Sa base est triangulaire. L’aire du triangle reste la même lorsqu’on prend de la hauteur. C’est comme si on superposait plusieurs triangles de mêmes dimensions. Son volume est obtenu en multipliant l’aire de la base par sa hauteur :
$\color{red}Volume\ prisme \color{black}= \color{green}Aire\ du\ triangle\times \color{blue}hauteur\ prisme$
$\color{red}Volume\ prisme \color{black}= \color{orange}base\ triangle\color{black}\times \color{green}hauteur\ triangle\times \color{blue}hauteur\ prisme$
Exemple : calculer le volume d’un prisme
Calculer le volume d’un prisme dont la longueur de base du triangle est de 4 cm, la hauteur du triangle est de 3 cm et la hauteur du prisme est de 9 cm.
Le résultat sera arrondi au millième et donné en $cm^3.$ Ce résultat sera ensuite converti en $mm^3$.
$\color{red}Volume\ prisme \color{black}= \color{orange}base\ triangle\color{black}\times \color{green}hauteur\ triangle\times \color{blue}hauteur\ prisme \color{black}$
$\color{red}Volume\ prisme \color{black}= \color{orange}4\color{black}\times \color{green}3\times \color{blue}9\color{black}=\ 108$
Pour conclure, le volume de la boule est de $108\ cm^3\ soit\ 108000\ mm^3.$