A quoi sert le second degré ?
Les fonctions du second degré servent à quelques utilisations principales :
- modéliser des phénomènes physiques (comme modéliser la trajectoire d’un projectile sous l’effet de la gravité ou déterminer des points de rencontre de trajectoires)
- modéliser des phénomènes économiques (calcul de maxima et minima)
- résoudre des problèmes d’ingénierie
- résoudre des problèmes d’aires et de volumes
Que veut dire fonction du second degré?
Pour reconnaître une fonction du second degré, il faut vérifier sa forme générale.
De façon générale une fonction du second degré est notée sous la forme :
$f(x)\ =\ \color{purple}a\color{black}x\color{red}²\ +\ \color{blue}b\color{black}x\ +\ \color{green}c$
Il faut identifier les variables dans l’expression de la fonction et vérifier si le plus haut degré est 2 (il faut vérifier si il y a bien une variable élevée au carré et que c’est la plus grande puissance).
Exemple 1
$f(x)\ = \color{purple}3\color{black}x\color{red}²\ \color{blue}-5\color{black}x\ \ \color{green}+4$ est une fonction du $\color{red}second\ degré$.
On identifie bien $x\color{red}²$ dans l’expression et il n’y a pas de degré plus haut que $\color{red}2$.
Exemple 2
$f(x)\ = \color{orange}3\color{black}x\color{grey}^3\ \color{purple}-7\color{black}x\color{red}^2\ \color{blue}-4\color{black}x\ \ \color{green}+2$ n’est pas une fonction du $\color{red}second\ degré$.
On identifie bien $x\color{red}²$ dans l’expression mais il y a un degré plus haut que $\color{red}2$ avec le terme $\color{orange}3\color{black}x\color{grey}^3$. Le terme du plus haut degré est $\color{grey}3$ et non $\color{red}2$ donc ce n’est pas une fonction du $\color{red}second\ degré$.
Exemple 3
$f(x)\ = \color{purple}5\color{black}x\color{red}²\ \color{green}-124$ est une fonction du $\color{red}second\ degré$.
On identifie bien $x\color{red}²$ dans l’expression et il n’y a pas de degré plus haut que $\color{red}2$.
Exemple 4
$f(x)\ = \color{brown}15\color{black}x\color{grey}^5\ \color{blue}+7\color{black}x\ \ \color{green}+1$ n’est pas une fonction du $\color{red}second\ degré$.
Il n’y a pas de terme en $x\color{red}²$ dans l’expression et le terme du plus haut degré est $\color{grey}5$ donc ce n’est pas une fonction du $\color{red}second\ degré$.
Comment résoudre des problèmes avec des équations du second degré ?
Résolution graphique
Il est possible de résoudre de façon graphique des équations du second degré. Il suffit de s’appuyer sur le graphique de la courbe donnée (qui correspond au tracé de son expression algébrique donnée) et de savoir lire correctement ce graphique. Les différentes activités ci-dessous vous permettront de savoir lire un graphique et trouver les solutions (que l’on appelle aussi « racines » du polynôme).
Pour reconnaître graphiquement une fonction du second degré, il faut identifier une courbe nommée « parabole ». C’est une courbe qui possède un axe de symétrie. On pourrait également reconnaître cette forme de courbe comme la bouche d’un smiley content ou pas content. On parle aussi sur certaines ressources de « U à l’endroit » ou « U à l’envers ».
Voici une première courbe avec une forme de parabole, la bouche d’un smiley content ou un U à l’endroit.
C’est la courbe représentative de la fonction f :
$f(x)=\color{red}3\color{black}x²-2x+3$
Voici une deuxième courbe avec une forme de parabole inversée, la bouche d’un smiley pas content ou un U à l’envers
C’est la courbe représentative de la fonction f :
$f(x)=\color{red}-5\color{black}x²+3x+2$
Pour comprendre davantage comment se comporte une courbe qui a une forme de parabole, déplacer le curseur « a » en rouge sur le graphique après avoir cliqué sur le bouton suivant :
Pour simplifier, résoudre graphiquement une équation du second degré revient à trouver des solutions (racines). Ces solutions sont les valeurs des abscisses de la courbe lorsqu’elle se croise avec l’axe des abscisses. On cherche à savoir à quel endroit de la courbe en abscisse on a une hauteur « f(x) » ou « y » égale à 0. Il est possible qu’il n’y ait pas d’intersection et dans ce cas il n’y a pas de solution à l’équation.
Résolution algébrique
Il est possible également de résoudre ces équations du second degré de façon algébrique. Pour cela, il existe plusieurs formules à utiliser (par exemple le calcul du discriminant delta « Δ ») pour trouver les solutions (que l’on note aussi « racines » du polynôme). Toutes les étapes pour résoudre algébriquement une équation du second degré sont détaillées sur cette page.
Activité 1 : visualiser le nombre de solutions et résoudre graphiquement l’équation f(x)=0
Bases et rappels nécessaires pour réaliser l’activité 1 du 2nd degré
Avant d’aborder en toute confiance l’approche du second degré en visualisant le nombre de solutions (nombre de racines du polynôme) et en résolvant graphiquement l’équation f(x)=0 , voici quelques rappels en vidéo qui répondent aux questions suivantes :
- Qu’est-ce qu’un monôme ?
- Qu’est-ce qu’un binôme ?
- Qu’est-ce qu’un trinôme ?
-Comment connaître le degré d’un polynôme ?
Activité 1 : Fiche à compléter
A l’aide des notions données dans la vidéo précédentes sur les bases d’un polynôme, il est maintenant possible de compléter la fiche de l’activité 1 suivante.
Le but est d’ouvrir ce fichier pdf et de le compléter (numériquement, mentalement ou manuellement si vous imprimez le fichier).
Si l’activité est trop difficile à compléter, il est recommandé de s’aider de la fiche méthode de l’activité 1 juste en dessous.
Activité 1 : Méthode pour compléter la fiche
Voici ci-dessous une fiche permettant de vous aider pour compléter l’activité 1. Quelques méthodes visuelles vont vous aiguiller pour répondre aux questions.
Correction de l’activité 1
2 types de corrections sont proposées pour vous aider : une correction au format Pdf et une correction avec explication orale sous forme de vidéo au format mp4.
Correction visuelle format pdf
Correction en vidéo format mp4
Un exercice pour s’entraîner
Exercice sur la détermination du nombre de solutions et la résolution graphique
Voici ci-dessous un exercice permettant de vous aider à :
-déterminer les coefficients d’une équation du second degré
-donner le nombre de solutions d’une équation du second degré
-déterminer les solutions de l’équation f(x)=0.
Correction de l’exercice sur les équations du second degré en vidéo mp4
Activité 2 : vérifier les racines d’un polynôme
Bases et rappels nécessaires pour réaliser l’activité 2 du 2nd degré
Avant d’aborder en toute confiance l’approche du second degré en vérifiant les racines (c’est à dire les solutions) d’un polynôme, voici quelques rappels en vidéo qui répondent aux questions suivantes :
-Quels éléments sont présents dans un polynôme ? Quels sont les opérations cachées ?
-Comment calculer un nombre élevé par une puissance?
-Comment fonctionnent les opérations sur les nombres relatifs ?
-Quel méthode pour maîtriser les priorités de calculs ?
-Comment vérifier si un nombre est solution dans une équation ?
Activité 2 : fiche à compléter
A l’aide des notions données dans la vidéo précédentes, il est maintenant possible de compléter la fiche de l’activité 2 suivante.
Le but est d’ouvrir ce fichier pdf et de le compléter (numériquement, mentalement ou manuellement si vous imprimez le fichier).
Si l’activité est trop difficile à compléter, il est recommandé de s’aider de la fiche méthode de l’activité 2 juste en dessous
Activité 2 : Méthode pour compléter la fiche
Voici ci-dessous une fiche permettant de vous aider pour compléter l’activité 2. Quelques méthodes visuelles vont vous aiguiller pour répondre aux questions.
Correction de l’activité 2
2 types de corrections sont proposées pour vous aider : une correction au format Pdf et une correction avec explication orale sous forme de vidéo au format mp4.
Correction visuelle format pdf
Correction en vidéo format mp4
Un exercice pour s’entraîner
Exercice sur la vérification des racines d’une équation du second degré
Voici ci-dessous un exercice permettant de vous aider à :
-vérifier si le nombre donné est une racine de l’équation du second degré proposée.
Correction de l’exercice sur la vérification des racines d’une équation du second degré en vidéo mp4
Activité 3 : factoriser un polynôme de degré 2
Bases et rappels nécessaires pour réaliser l’activité 3 du 2nd degré
Avant d’aborder en toute confiance l’approche du second degré en factorisant les polynômes, voici quelques rappels en vidéo qui répondent aux questions suivantes :
-Qu’est-ce que la factorisation ?
-Comment passer de la forme $\color{red}a\color{black}x²\ +\ \color{blue}b\color{black}x\ +\ \color{green}c$ à la forme factorisée $\color{red}a\color{black}(x\ -\ \color{brown}x_1\color{black})(x\ -\ \color{green}x_2\color{black})$ ?
Activité 3 : fiche à compléter
A l’aide des notions données dans la vidéo précédentes, il est maintenant possible de compléter la fiche de l’activité 3 suivante.
Le but est d’ouvrir ce fichier pdf et de le compléter (numériquement, mentalement ou manuellement si vous imprimez le fichier).
Si l’activité est trop difficile à compléter, il est recommandé de s’aider de la fiche méthode de l’activité 3 juste en dessous
Activité 3 : Méthode pour compléter la fiche
Voici ci-dessous une fiche permettant de vous aider pour compléter l’activité 3. Quelques méthodes visuelles vont vous aiguiller pour répondre aux questions.
Correction de l’activité 3
2 types de corrections sont proposées pour vous aider : une correction au format Pdf et une correction avec explication orale sous forme de vidéo au format mp4.
Correction visuelle format pdf
Correction en vidéo format mp4
Un exercice pour s’entraîner
Exercice sur la factorisation des polynômes du second degré
Voici ci-dessous un exercice permettant de vous aider à :
-associer chaque courbe à sa bonne expression algébrique (reconnaître graphiquement les solutions d’une équation du second degré grâce à sa courbe et en déduire son écriture sous sa forme factorisée).
Correction de l’exercice sur la factorisation des polynômes du second degré en vidéo mp4
Activité 4 : déterminer les solutions d’une équation du second degré à partir d’une expression factorisée
Bases et rappels nécessaires pour réaliser l’activité 4 du 2nd degré
Avant d’aborder en toute confiance l’approche du second degré en déterminant les solutions d’une équation à partir de l’expression factorisée, voici quelques rappels en vidéo qui répondent aux questions suivantes :
-Comment développer une expression algébrique ?
-Comment identifier les solutions d’une équation dans une expression déjà factorisée ?
Activité 4 : fiche à compléter
A l’aide des notions données dans la vidéo précédentes, il est maintenant possible de compléter la fiche de l’activité 4 suivante.
Le but est d’ouvrir ce fichier pdf et de le compléter (numériquement, mentalement ou manuellement si vous imprimez le fichier).
Si l’activité est trop difficile à compléter, il est recommandé de s’aider de la fiche méthode de l’activité 4 juste en dessous
Activité 4 : Méthode pour compléter la fiche
Voici ci-dessous une fiche permettant de vous aider pour compléter l’activité 4. Quelques méthodes visuelles vont vous aiguiller pour répondre aux questions.
Correction de l’activité 4
2 types de corrections sont proposées pour vous aider : une correction au format Pdf et une correction avec explication orale sous forme de vidéo au format mp4.
Correction visuelle format pdf
Correction en vidéo format mp4
Un exercice pour s’entraîner
Exercice sur l’identification des solutions à partir de l’expression factorisée d’un polynôme du second degré
Voici ci-dessous un exercice permettant de vous aider à :
-déterminer la ou les solutions d’une équation du second degré si elles existent (car ce n’est pas tout le temps le cas).
Correction de l’exercice sur l’identification des solutions à partir de l’expression factorisée d’un polynôme du second degré en vidéo mp4
Activité 5 : construire un tableau de signe
Bases et rappels nécessaires pour réaliser l’activité 5 du 2nd degré
Avant d’aborder en toute confiance l’approche du second degré dans le but de construire un tableau de signe, voici quelques rappels en vidéo qui répondent aux questions suivantes :
-A quoi ressemble un tableau de signe ? Comment le construire ?
-Qu’est-ce que les coordonnées d’un point ?
-Qu’est-ce que les coordonnées du sommet d’une parabole ?
Activité 5 : fiche à compléter
A l’aide des notions données dans la vidéo précédentes, il est maintenant possible de compléter la fiche de l’activité 5 suivante.
Le but est d’ouvrir ce fichier pdf et de le compléter (numériquement, mentalement ou manuellement si vous imprimez le fichier).
Si l’activité est trop difficile à compléter, il est recommandé de s’aider de la fiche méthode de l’activité 5 juste en dessous
Activité 5 : Méthode pour compléter la fiche
Voici ci-dessous une fiche permettant de vous aider pour compléter l’activité 5. Quelques méthodes visuelles vont vous aiguiller pour répondre aux questions.
Correction de l’activité 5
2 types de corrections sont proposées pour vous aider : une correction au format Pdf et une correction avec explication orale sous forme de vidéo au format mp4.
Correction visuelle format pdf
Correction en vidéo format mp4
Un exercice pour s’entraîner
Exercice sur la construction d’un tableau de signe d’une fonction polynôme du second degré
Voici ci-dessous un exercice permettant de vous aider à :
-dresser le tableau de signes de fonctions factorisées du second degré.
-déterminer les coordonnées d’un sommet d’une parabole et donc sa position graphique.
-dessiner l’allure d’une courbe