Lorsqu’on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même alors on peut utiliser des puissances pour simplifier l’écriture.
Ecriture d’une puissance
De manière générale, une puissance d’un nombre s’écrit : $\colorbox{yellow}{\(a\color{red}^n\)}$
Exemple 1
Au lieu d’écrire : $\color{green}4 \color{black}\times \color{green}4 \color{black}\times \color{green}4 $
On peut écrire : $\color{green}4\color{red}^3$ (car on multiplie $\color{red}3$ fois le même nombre $\color{green}4$)
On trouve que $\color{green}4 \color{black}\times \color{green}4 \color{black}\times \color{green}4\color{black}\ = \color{green}4\color{red}^3$
Exemple 2
A la place de $\color{blue}3 \color{black}\times \color{blue}3 \color{black}\times \color{blue}3 \color{black}\times \color{blue}3 \color{black}\times \color{blue}3$
On peut noter : $\color{blue}3\color{red}^5$ (car on multiplie $\color{red}5$ fois le même nombre $\color{blue}3$)
Et oui, $\color{blue}3 \color{black}\times \color{blue}3 \color{black}\times \color{blue}3 \color{black}\times \color{blue}3 \color{black}\times \color{blue}3 \color{black}\ = \color{blue}3\color{red}^5$
Exemple 3
Au lieu d’écrire : $\color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10$
On peut le remplacer par : $\color{magenta}10\color{red}^6$ (car on multiplie $\color{red}6$ fois le même nombre $\color{magenta}10$)
Pour résumer, $\color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\times \color{magenta}10 \color{black}\ = \color{magenta}10\color{red}^6$
Sur ce dernier exemple, étant donné que le nombre à multiplier concerné est 10, on appelle cela une puissance de 10 (car sa base est le nombre 10).
Produit de 2 puissances d’un même nombre
Deux mêmes nombres avec des puissances (pas forcément identiques) peuvent être simplifiés.
Attention, pour pouvoir appliquer la formule suivante, il faut impérativement que les 2 nombres multipliés soient les mêmes.
Contre-exemple 1
$\color{blue}7\color{red}^3 \color{black}\times \color{green}4\color{red}^3\color{black}= \textbf{IMPOSSIBLE}$ car les 2 nombres $\color{blue}7$ et $\color{green}4$ sont différents
Contre-exemple 2
$\color{blue}2\color{red}^3 \color{black}\times \color{green}5\color{red}^8\color{black}= \textbf{IMPOSSIBLE}$ car les 2 nombres $\color{blue}2$ et $\color{green}5$ sont différents
De façon générale, lorsqu’on multiplie deux nombres identiques qui sont pourvus d’une puissance on utilise la formule suivante : $\colorbox{yellow}{\(a\color{red}^{n}\ \color{black}\times a\color{blue}^{p} \color{black}=a^{\color{red}n\color{black}+\color{blue}p}\)}$
Exemple 1
$7\color{red}^{3} \color{black}\times 7\color{blue}^{3} \color{black}=7^{\color{red}3\color{black}+\color{blue}3}\color{black}=7\color{red}^6 $
Exemple 2
$2\color{red}^{3} \color{black}\times 2\color{blue}^{8} \color{black}=2^{\color{red}3\color{black}+\color{blue}8}\color{black}=2\color{red}^{11} $
Puissance de puissance
Lorsqu’on utilise une puissance sur une puissance déjà existante : $\colorbox{yellow}{(\(a\color{red}^{n}\color{black})\color{blue}^{p} \ =a^{\color{red}n\color{black}\times\color{blue}p}\)}$
Exemple 1
$(4\color{red}^{2}\color{black})\color{blue}^{3}\color{black}=4^{\color{red}2\color{black}\times\color{blue}3}\color{black}=4\color{purple}^6$
Exemple 2
$(5\color{red}^{3}\color{black})\color{blue}^{4}=5^{\color{red}3\color{black}\times\color{blue}4}\color{black}=5\color{purple}^{12}$
Puissance d’exposant négatif
Lorsqu’un nombre a une puissance négative, nous pouvons également le mettre sous une autre forme d’écriture. En effet, il suffit de l’écrire sous forme inverse pour que la puissance soit écrite de façon positive.
$\colorbox{yellow}{\(a\color{red}^{-n}\color{black}=\frac{1}{a\color{red}^n}\)}$
Exemple 1
$2\color{red}^{-4}\color{black}=\frac{1}{2\color{red}^4}$
Exemple 2
$6\color{red}^{-2}\color{black}=\frac{1}{6\color{red}^2}$
Quotient de 2 puissances d’un même nombre
Des simplifications existent lorsqu’on divise deux nombres qui ont des puissances.
$\colorbox{yellow}{\(\frac{a\color{blue}^{n}}{a\color{green}^{p}}\color{black}=a^{\color{blue}n\color{black}-\color{green}p}\)}$
Exemple 1
$\frac{5\color{blue}^{7}}{5\color{green}^{3}}\color{black}=5^{\color{blue}7\color{black}-\color{green}3}\color{black}=5\color{red}^{4}$
Exemple 2
$\frac{8\color{blue}^{-3}}{8\color{green}^{-5}}\color{black}=8^{\color{blue}-3\color{black}-\color{green}(-5)}\color{black}=8\color{red}^{-3+5}\color{black}=8\color{red}^{2}$
Les cas particuliers
Un nombre à la puissance 0
N’importe quel nombre avec une puissance de 0 peut être écrit sous forme d’une fraction :
$a^0 = a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n}$
Or $\frac{a^n}{a^n} = 1$
Ainsi $\colorbox{yellow}{\(a^0 = 1\)}$
Exemple 1
$6\color{red}^0 \color{black}= 6\color{red}^{3-3} \color{black}= \frac{6\color{red}^3}{6\color{red}^3} \color{black}= 1$
Exemple 2
$155\color{red}^0 \color{black}= 155\color{red}^{9-9} \color{black}= \frac{155\color{red}^9}{155\color{red}^9} \color{black}= 1$
Autres exemples
$\color{purple}30\color{red}^0 \color{black}= \color{purple}1$
$\color{orange}8\color{red}^0 \color{black}= \color{orange}1$
$\color{cyan}45 000\color{red}^0 \color{black}= \color{cyan}1$
Un nombre à la puissance 1
Lorsqu’un nombre est à la puissance 1, cela signifie qu’il n’apparait qu’une seule fois (lui-même) donc $\colorbox{yellow}{\(a^1 = a\)}$
Exemple 1
$\color{blue}6\color{red}^1 \color{black}= \color{blue}6$
Exemple 2
$\color{green}155\color{red}^1 \color{black}= \color{green}155$
Les puissances de 10
On appelle puissance de 10 lorsque le nombre de base est 10. Il est affecté d’une puissance qui n’est pas forcément 10.
Les puissances de 10 suivent les mêmes règles que celles vues précédemment.
Son écriture
$\color{blue}10\color{red}^5 \color{black}\ =\color{blue}10 \color{black}\times \color{blue}10 \color{black}\times \color{blue}10 \color{black}\times \color{blue}10 \color{black}\times \color{blue}10\color{black}=1\color{red}00 000$
Plus simplement, on constate que pour écrire $\color{blue}10\color{red}^5$ il suffit de noter le 1 et de compléter avec $\color{red}5$ zéros.
Ou on peut aussi partir de 1,00000 et se dire qu’on décale la virgule de 5 rang vers la droite car 5>0.
$\color{blue}10\color{red}^{-5} \color{black}\ =\frac{1}{10\color{red}^5}=\frac{1}{\color{blue}10 \color{black}\times \color{blue}10 \color{black}\times \color{blue}10 \color{black}\times \color{blue}10 \color{black}\times \color{blue}10}=\color{red}0,0000\color{black}1$
Plus simplement, on constate que pour écrire $\color{blue}10\color{red}^{-5}$ il suffit de noter $\color{red}5$ zéros avec une virgule après le premier 0 puis le 1.
Ou on peut aussi partir de 1,00000 et se dire qu’on décale la virgule de 5 rang vers la gauche car -5<0.
Produit de 2 puissances de 10
$10\color{red}^{3} \color{black}\times 10\color{blue}^{3} \color{black}=10^{\color{red}3\color{black}+\color{blue}3}\color{black}=10\color{red}^6 $
$10\color{red}^{3} \color{black}\times 10\color{blue}^{8} \color{black}=10^{\color{red}3\color{black}+\color{blue}8}\color{black}=10\color{red}^{11} $
Puissance de puissance de 10
Exemple 1
$(10\color{red}^{2}\color{black})\color{blue}^{3}\color{black}=10^{\color{red}2\color{black}\times\color{blue}3}\color{black}=10\color{purple}^6$
Exemple 2
$(10\color{red}^{3}\color{black})\color{blue}^{4}=10^{\color{red}3\color{black}\times\color{blue}4}\color{black}=10\color{purple}^{12}$
Puissance d’exposant négatif
Exemple 1
$10\color{red}^{-4}\color{black}=\frac{1}{10\color{red}^4}$
Exemple 2
$10\color{red}^{-2}\color{black}=\frac{1}{10\color{red}^2}$
Quotient de 2 puissances d’un même nombre
Exemple 1
$\frac{10\color{blue}^{7}}{10\color{green}^{3}}\color{black}=10^{\color{blue}7\color{black}-\color{green}3}\color{black}=10\color{red}^{4}$
Exemple 2
$\frac{10\color{blue}^{-3}}{10\color{green}^{-5}}\color{black}=10^{\color{blue}-3\color{black}-\color{green}(-5)}\color{black}=10\color{red}^{-3+5}\color{black}=10\color{red}^{2}$
Les cas particuliers
$10\color{red}^0 \color{black}= 1$
$\color{blue}10\color{red}^1 \color{black}= \color{blue}10$