Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Représentation paramétrique d’une droite

Une représentation paramétrique d’une droite s’écrit sur 3 lignes (car il y a 3 axes en géométrie dans l’espace : x, y et z).

Cette équation paramétrique de droite comporte donc 3 expressions.

Pour trouver ces 3 expressions, on peut s’aider de l’image ci-contre :

1) Soit une droite (d) qui passe par un point $\color{green}$A de coordonnées $\color{green}A\color{black}(\color{green}x_A\ \color{black};\ \color{green}y_A\ \color{black};\ \color{green}z_A\color{black})$.

2) Soit un vecteur directeur $\color{orange}\vec{u}$ de coordonnées $\color{orange}\vec{u}\color{black}(\color{orange}a\color{black};\color{orange}b\color{black};\color{orange}c\color{black})$ qui dirige la droite d.

3) Pour que n’importe quel point $\color{red}M$ soit sur la droite d, il faut que $\vec{\color{green}A\color{red}M}$ et $\color{orange}\vec{u}$ soient colinéaires (c’est à dire des directions de droites parallèles). De plus, quand 2 vecteurs sont colinéaires, on peut écrire la relation $\vec{\color{green}A\color{red}M} = t \times \color{orange}\vec{u}$ avec t qui est un coefficient multiplicateur (un nombre).
Pour les équations paramétriques de droite, t s’appellera le paramètre.

4) Pour avoir les coordonnées de $\vec{\color{green}A\color{red}M}$ on réalise les calculs suivants :
$$\begin{cases}\color{red}x_M\ \color{black}-\ \color{green}x_A \\ \color{red}y_M\ \color{black}-\ \color{green}y_A \\ \color{red}z_M\ \color{black}-\ \color{green}z_A\end{cases}$$

5) Si on décompose la relation $\vec{\color{green}A\color{red}M} = t \times \color{orange}\vec{u}$ sur les 3 composantes x, y et z, on obtient alors les 3 expressions suivantes qui représentent l’équation paramétrique d’une droite :
$$\begin{cases}\color{red}x_M\ \color{black}-\ \color{green}x_A\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}a \\ \color{red}y_M\ \color{black}-\ \color{green}y_A\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}b\\ \color{red}z_M\ \color{black}-\ \color{green}z_A\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}c\end{cases}$$

$$\begin{cases}\color{red}x_M\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}a \color{black}+\ \color{green}x_A\ \\ \color{red}y_M\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}b\ \color{black}+\ \color{green}y_A\\\ \color{red}z_M\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}c\ \color{black}+\ \color{green}z_A\ \end{cases}$$

Manipuler les représentations paramétriques de droite

Exemple 1 : comment trouver une représentation paramétrique d’une droite en connaissant les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur ?

Déterminer la représentation paramétrique d’une droite qui passe par le point $\color{green}C$ de coordonnées $\color{green}C\color{black}(\color{green}x_C\ \color{black};\ \color{green}y_C\ \color{black};\ \color{green}z_C)$, qui est dirigée par le vecteur directeur $\color{orange}\vec{v}$ de coordonnées $\color{orange}\vec{v}\color{black}(\color{orange}a\color{black};\color{orange}b\color{black};\color{orange}c\color{black})$ et de paramètre t .

Solution

$$\begin{cases}x\ -\ \color{green}x_C\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}a \\ \color{black}y\ -\ \color{green}y_C\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}b\color{black}\\ z_\ -\ \color{green}z_C\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}c\end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}a \color{black}+\ \color{green}x_C\ \\ \color{black}y\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}b\ \color{black}+\ \color{green}y_C\ \color{black}\\ z\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}c\ \color{black}+\ \color{green}z_C\ \end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ \color{black}=\ \color{orange}a\color{black}t\ \color{black}+\ \color{green}x_C\ \\ \color{black}y\ \color{black}=\ \color{orange}b\color{black}t\ \color{black}+\ \color{green}y_C\ \color{black}\\ z\ \color{black}=\ \color{orange}c\color{black}t\ \color{black}+\ \color{green}z_C\ \end{cases}$$

Exemple 2 : comment trouver une représentation paramétrique d’une droite en connaissant les coordonnées d’un point et d’un vecteur directeur ?

Déterminer la représentation paramétrique d’une droite qui passe par le point $\color{green}F$ de coordonnées $\color{green}F\color{black}(\color{green}2\color{black};\color{green}-3\color{black};\color{green}4\color{black})$, qui est dirigée par le vecteur directeur $\color{orange}\vec{v}$ de coordonnées $\color{orange}\vec{v}\color{black}(\color{orange}-1\color{black};\color{orange}2\color{black};\color{orange}1\color{black})$ et de paramètre t .

Solution

$$\begin{cases}x\ -\ \color{green}x_F\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}a \\ \color{black}y\ -\ \color{green}y_F\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}b\\ \color{black}z\ -\ \color{green}z_F\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}c\end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ -\ \color{green}2\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}(-1) \\ \color{black}y\ -\ \color{green}(-3)\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}2\\ \color{black}z\ -\ \color{green}4\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}1\end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ =\ t\ \times\ \color{orange}(-1)\ \color{black}+\ \color{green}2\ \\ \color{black}y\ =\ t\ \times\ \color{orange}2\ \color{black}+\ \color{green}3\ \\ \color{black}z\ \ =\ t\ \times\ \color{orange}1\ \color{black}+\ \color{green}4\end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ =\ \color{orange}-\color{black}t\ +\ \color{green}2\ \\ \color{black}y\ =\ \color{orange}2\color{black}t\ +\ \color{green}3\ \\ \color{black}z\ \ =\ t\ +\ \color{green}4\end{cases}$$

Exemple 4 : comment savoir si un point appartient à la droite de représentation paramétrique donnée ?

Soit le point $\color{purple}H$ de coordonnées $\color{purple}H\color{black}(\color{purple}0\color{black};\color{purple}-0,5\color{black};\color{purple}1\color{black})$

Soit la droite ($d_1$) d’équation paramétrique suivante :

$$\begin{cases}x\ =\ \color{orange}-2\color{black}t\ +\ \color{green}1\ \\ \color{black}y\ =\ \color{orange}3\color{black}t\ \color{green}-2\ \\ \color{black}z\ \ =\ \color{orange}2\ \color{black}t\ +\ \color{green}1\end{cases}$$

Est-ce que le point $\color{purple}H$ appartient à la droite ($d_1$) ?

Solution

Pour vérifier si un point appartient à une droite dont la représentation paramétrique est connue, il suffit de remplacer x, y et z par les coordonnées du point que l’on souhaite tester.
Ici nous souhaitons tester si le point $\color{purple}H$ de coordonnées $\color{purple}H\color{black}(\color{purple}0\color{black};\color{purple}-0,5\color{black};\color{purple}1\color{black})$ appartient à la droite ($d_1$).
Donc il faut remplacer :

$$\begin{cases} x\ par\ \color{purple}0\ \color{black}, \\ y\ par\ \color{purple}-0,5 \color{black}, \\ z\ par\ \color{purple}1\color{black}.\end{cases}$$

Ainsi, on obtient le système suivant :
$$\begin{cases}\color{purple}0\ \color{black}=\ \color{orange}-2\color{black}t\ +\ \color{green}1\ \\ \color{purple}-0,5\ \color{black}=\ \color{orange}3\color{black}t\ \color{green}-2\ \\ \color{purple}1\ \ \color{black}=\ \color{orange}2\ \color{black}t\ +\ \color{green}1\end{cases}$$

Il suffit alors de résoudre ce système :
$$\begin{cases}\color{orange}2\color{black}t\ = \color{green}1\ \color{black} -\ \color{purple}0\ \\ \color{black}\color{orange}-3\color{black}t\ =\ \color{green}-2\ \color{purple}+0,5\\ \color{black}\color{orange}-2\ \color{black}t\ =\ \color{green}1\ \color{purple}-1\end{cases}$$

$$\begin{cases}\color{orange}2\color{black}t\ = 1 \\ \color{black}\color{orange}-3\color{black}t\ =\ -1,5\\ \color{black}\color{orange}-2\ \color{black}t\ =\ 0\end{cases}$$

$$\begin{cases}t\ = \frac{1}{\color{orange}2} \\ t\ = \frac{-1,5}{\color{orange}-3} \\ t\ = \frac{0}{\color{orange}-2}\end{cases}$$

$$\begin{cases}t\ =\ 0,5 \\ t\ =\ 0,5 \\ t\ =\ 0\end{cases}$$

On n’obtient pas la même valeur pour t sur les 3 lignes donc le système n’a pas de solution.

On peut conclure que le point $\color{purple}H$ n’appartient pas à la droite ($d_1$).

Exemple 5 : comment trouver différentes représentations paramétriques pour une même droite en connaissant les coordonnées de 2 points qui sont sur cette droite ?

Déterminer deux représentations paramétriques différentes de la droite (AB) passant par les points $\color{purple}A$ de coordonnées $\color{purple}A\color{black}(\color{purple}1\color{black};\color{purple}-2\color{black};\color{purple}1\color{black})$ et $\color{green}B$ de coordonnées $\color{green}B\color{black}(\color{green}-1\color{black};\color{green}1\color{black};\color{green}3\color{black})$

Solution

Il faut dans un premier temps déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de cette droite (AB). Pour cela, on va calculer les coordonnées du vecteur $\color{orange}\vec{AB}$.

$$
{\color{orange}\vec{AB}} \left(
\begin{array}{c}
\color{green}x_B\ \color{black}-\ \color{purple}x_A \\
\color{green}y_B\ \color{black}-\ \color{purple}y_A \\
\color{green}z_B\ \color{black}-\ \color{purple}z_A
\end{array}
\right)
$$

$$
{\color{orange}\vec{AB}} \left(
\begin{array}{c}
\color{green}-1\ \color{black}-\ \color{purple}1 \\
\color{green}1\ \color{black}-\ \color{purple}(-2) \\
\color{green}3\ \color{black}-\ \color{purple}1
\end{array}
\right)
$$

$$
{\color{orange}\vec{AB}} \left(
\begin{array}{c}
\color{orange}-2 \\
\color{orange}3 \\
\color{orange}2
\end{array}
\right)
$$

Première représentation de la droite (AB) en utilisant le point $\color{purple}A$ de coordonnées $\color{purple}A\color{black}(\color{purple}1\color{black};\color{purple}-2\color{black};\color{purple}1\color{black})$ :

$$\begin{cases}x\ -\ \color{purple}1\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}(-2) \\ \color{black}y\ -\ \color{purple}(-2)\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}3\color{black}\\ z\ -\ \color{purple}1\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}2\end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ -\ \color{purple}1\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}(-2) \\ \color{black}y\ \color{purple}+2\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}3\color{black}\\ z\ -\ \color{purple}1\ \color{black}=\ t\ \times\ \color{orange}2\end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ \color{black}=\ \color{orange}-2\ \color{black}t\ +\ \color{purple}1\\\ \color{black}y\ \color{black}=\ \color{orange}3\ \color{black}t\ \color{purple}-2\color{black}\\ z\ =\ \color{orange}2\ \color{black}t\ \color{black}+\color{purple}1\end{cases}$$

Deuxième représentation de la droite (AB) en utilisant le point $\color{green}B$ de coordonnées $\color{green}B\color{black}(\color{green}-1\color{black};\color{green}1\color{black};\color{green}3\color{black})$ :

$$\begin{cases}x\ -\ \color{green}(-1)\ \color{black}=\ t’\ \times\ \color{orange}(-2) \\ \color{black}y\ -\ \color{green}1\ \color{black}=\ t’\ \times\ \color{orange}3\color{black}\\ z\ -\ \color{green}3\ \color{black}=\ t’\ \times\ \color{orange}2\end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ +\ \color{green}1\ \color{black}=\ t’\ \times\ \color{orange}(-2) \\ \color{black}y\ -\ \color{green}1\ \color{black}=\ t’\ \times\ \color{orange}3\color{black}\\ z\ -\ \color{green}3\ \color{black}=\ t’\ \times\ \color{orange}2\end{cases}$$

$$\begin{cases}x\ \color{black}=\ \color{orange}-2\ \color{black}t’\ -\ \color{green}1\\\ \color{black}y\ \color{black}=\ \color{orange}3\ \color{black}t’\ \color{green}+1\color{black}\\ z\ =\ \color{orange}2\ \color{black}t’\ \color{black}+\color{green}3\end{cases}$$

Etudier la position relative de 2 droites

C’est quoi la position relative de 2 droites ?

Quand on étudie la position relative de 2 droites, l’objectif est de savoir si les 2 droites sont coplanaires (dans un même plan) ou non coplanaires.

Les droites sont coplanaires

Lorsque 2 droites sont coplanaires, elles peuvent être :

• sécantes (elles se croisent en un point d’intersection),
• strictement parallèles (elles ne se croisent jamais),
• confondues (elles sont parallèles et tous les points qui sont sur la première droite sont aussi sur la deuxième droite).

Les droites ne sont pas coplanaires

Si les 2 droites ne sont pas coplanaires alors elles ne sont ni parallèles, ni sécantes et ne sont pas confondues.

Exemple 1 : Est-ce que les 2 droites sont sécantes ? Si oui, sont-elles confondues ou sécantes en un seul point ?

Soit la droite ($d_1$) d’équation paramétrique suivante :

$$\begin{cases}x\ =\ \color{black}t\ +\ \color{green}2\ \\ \color{black}y\ =\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ \\ \color{black}z\ \ =\ \color{black}t\ +\ \color{green}1\end{cases}$$

Soit la droite ($d_2$) d’équation paramétrique suivante :
$$\begin{cases}x\ =\ \color{orange}-\color{black}t’\ \\ \color{black}y\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2\ \\ \color{black}z\ \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

Pour vérifier si il y a une intersection entre les 2 droites, il est nécessaire de poser les égalités entre les x, y et z de chaque droite.

Il faut donc tenter de résoudre le système suivant :

$$\begin{cases}\color{black}t\ +\ \color{green}2\ =\ \color{orange}-\color{black}t’\ \\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2\ \\ \color{black}t\ +\ \color{green}1 \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

Dans un premier temps on isole t ou t’. Dans cet exemple, je vais isoler t’ en combinant la première et deuxième ligne. Le but est de supprimer t en utilisant la bonne opération. Ici le fait d’ajouter la première à la deuxième ligne permet d’éliminer les t.
On obtient :
$$\begin{cases}t\ -\ t\ +\ \color{green}2\ +\ \color{green}1=\ \color{orange}-\color{black}t’\color{orange}-1,5\color{black}t’ -\ \color{green}2\\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2\ \\ \color{black}t\ +\ \color{green}1 \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

$$\begin{cases}\color{green}3\ = \color{orange}-2,5\color{black}t’ -\ \color{green}2\\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2 \\ \color{black}t\ +\ \color{green}1 \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

$$\begin{cases}\color{orange}2,5\color{black}t’ = -\ \color{green}2\ -\ \color{green}3\\\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2 \\ \color{black}t\ +\ \color{green}1 \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

$$\begin{cases}\color{orange}2,5\color{black}t’ = -5\\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2 \\ \color{black}t\ +\ \color{green}1 \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

$$\begin{cases}t’ = \frac{-5}{2,5}\\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2 \\ \color{black}t\ +\ \color{green}1 \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

$$\begin{cases}t’ = -2\\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2 \\ \color{black}t\ +\ \color{green}1 \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

Je remplace donc tous les t’ par -2 sur toutes les lignes de mon système de départ :

$$\begin{cases}\color{black}t\ +\ \color{green}2\ =\ \color{orange}-\color{black}(-2)\ \\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ =\ \color{orange}-1,5\ \color{black}\times\ \color{black}(-2)\ \color{green}-2\ \\ \color{black}t\ +\ \color{green}1 \ =\ \color{black}(-2)\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

Maintenant il faut isoler t sur chaque ligne du système et vérifier si on trouve la même valeur partout :

$$\begin{cases}\color{black}t\ =\ \color{orange}-\color{black}(-2)\ -\ \color{green}2\\ \color{orange}-\color{black}t\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}\times\ (-2)\ \color{green}-2\ \color{green}-1\\ \color{black}t\ =\ \color{black}(-2)\ +\ \color{green}3\ -\ \color{green}1 \end{cases}$$

$$\begin{cases}\color{black}t\ =\ \color{orange}-\color{black}(-2)\ -\ \color{green}2\\\ \color{black}t\ =\ \color{orange}1,5\color{black}\times\ (-2) \color{green}+3\\ \color{black}t\ =\ \color{black}(-2)\ +\ \color{green}3\ -\ \color{green}1 \end{cases}$$

$$\begin{cases}\color{black}t\ =\ 0\\ \color{black}t\ =\ 0\\ \color{black}t\ =\ 0\end{cases}$$

On trouve la même valeur pour t dans le système donc il est bien résolu.
Ainsi les 2 droites ($d_1$) et ($d_2$) sont sécantes.

Vérifions maintenant si les 2 droites sont parallèles ou non.

Cas n°1 : si elles sont parallèles alors cela nous indiquera qu’elles sont confondues puisqu’on a vu qu’elles étaient aussi sécantes.
Cas n°2 : si elles ne sont pas parallèles alors elles sont sécantes en un point.

Les 2 droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

La droite ($d_1$) a l’équation paramétrique suivante :

$$\begin{cases}x\ =\ \color{black}t\ +\ \color{green}2\ \\ \color{black}y\ =\ \color{orange}-\color{black}t\ \color{green}+1\ \\ \color{black}z\ \ =\ \color{black}t\ +\ \color{green}1\end{cases}$$

Donc d’après l’équation paramétrique ci-dessus, on peut déduire les coordonnées d’un vecteur $\color{orange}\vec{u}$ directeur de la droite ($d_1$) :

$$
{\color{orange}\vec{u}} \left(
\begin{array}{c}
\color{orange}1 \\
\color{orange}-1 \\
\color{orange}1
\end{array}
\right)
$$

La droite ($d_2$) a l’équation paramétrique suivante :

$$\begin{cases}x\ =\ \color{orange}-\color{black}t’\ \\ \color{black}y\ =\ \color{orange}-1,5\color{black}t’\ \color{green}-2\ \\ \color{black}z\ \ =\ \color{black}t’\ +\ \color{green}3\end{cases}$$

Donc d’après l’équation paramétrique ci-dessus, on peut déduire les coordonnées d’un vecteur $\color{orange}\vec{v}$ directeur de la droite ($d_2$) :

$$
{\color{orange}\vec{v}} \left(
\begin{array}{c}
\color{orange}-1 \\
\color{orange}-1,5 \\
\color{orange}1
\end{array}
\right)
$$

Les vecteurs $\color{orange}\vec{u}$ et $\color{orange}\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car $1 \times (-1) \neq -1\ $ mais $-1 \times (-1) \neq -1,5\ $ et $1 \times (-1) \neq 1$.

Pour résumer, les droites ($d_1$) et ($d_2$) sont sécantes mais ne sont pas parallèles.
On peut donc conclure que ($d_1$) et ($d_2$) sont sécantes en un seul point.

Pour trouver le point d’intersection on remplace soit t par la valeur trouvée « 0 » dans l’équation paramétrique de ($d_1$) ou alors on remplace t’ par la valeur trouvée « -2 » dans l’équation paramétrique de ($d_2$).

Exemple 2 : Est-ce que les 2 droites sont strictement parallèles ?

Soit la droite ($d_1$) d’équation paramétrique suivante :

$$\begin{cases}x\ =\ \color{black}t\ +\ \color{green}1\ \\ \color{black}y\ =\ \color{orange}-2\color{black}t\ \color{green}+6\ \\ \color{black}z\ \ =\ \color{orange}3\color{black}t\ -\ \color{green}10\end{cases}$$

Soit la droite ($d_2$) d’équation paramétrique suivante :
$$\begin{cases}x\ =\ \color{orange}3\color{black}t’\ +\ \color{green}4\\ \color{black}y\ =\ \color{orange}-6\color{black}t’ \\ \color{black}z\ \ =\ \color{orange}9\color{black}t’\ -\ \color{green}1\end{cases}$$

Vérifions d’abord si les deux droites sont parallèles en montrant que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

D’après l’équation paramétrique, on peut déduire les coordonnées d’un vecteur $\color{orange}\vec{u}$ directeur de la droite ($d_1$) :

$$
{\color{orange}\vec{u}} \left(
\begin{array}{c}
\color{orange}1 \\
\color{orange}-2 \\
\color{orange}3
\end{array}
\right)
$$

D’après l’équation paramétrique, on peut déduire les coordonnées d’un vecteur $\color{orange}\vec{v}$ directeur de la droite ($d_2$) :

$$
{\color{orange}\vec{v}} \left(
\begin{array}{c}
\color{orange}3 \\
\color{orange}-6 \\
\color{orange}9
\end{array}
\right)
$$

Les vecteurs $\color{orange}\vec{u}$ et $\color{orange}\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car $1 \times (-1) \neq -1\ $ mais $-1 \times (-1) \neq -1,5\ $ et $1 \times (-1) \neq 1$.

Exemple 3 : Est-ce que les 2 droites sont confondues ?

test

Exemple 4 : Est-ce que les 2 droites sont coplanaires ?

test