A quoi sert la propriété de Thalès ?
La propriété de Thalès permet de trouver une longueur inconnue en géométrie.
Il existe également la réciproque de Thalès : elle permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
Comment savoir si on peut appliquer Thalès ?
Lorsque 2 droites parallèles coupent 2 droites sécantes alors on a le droit d’appliquer la propriété de Thalès :
Autrement dit, dès que 2 triangles partagent un angle et que les côtés opposés à cet angle sont parallèles alors on peut appliquer la propriété de Thalès.
Les triangles ainsi formés par cette situation géométrique sont semblables.
Quel est la définition de la propriété de Thalès ?
Si 2 droites parallèles coupent 2 droites sécantes alors elles déterminent 2 triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
Que nous dit la propriété de Thalès ?
Sur chaque dessin ci-dessus on a bien à chaque fois 2 droites parallèles qui coupent 2 droites sécantes. Cela forme 2 triangles : le triangle rouge et le triangle rose. On peut donc appliquer la propriété de Thalès en faisant attention à bien respecter l’ordre :
$$
\frac{\color{red}côté\ 1}{\color{magenta}côté\ 1} = \frac{\color{red}côté\ 2}{\color{magenta}côté\ 2} = \frac{\color{red}côté\ 3}{\color{magenta}côté\ 3}$$
OU
$$
\frac{\color{magenta}côté\ 1}{\color{red}côté\ 1} = \frac{\color{magenta}côté\ 2}{\color{red}côté\ 2} = \frac{\color{magenta}côté\ 3}{\color{red}côté\ 3}$$
Si les segments AD et AC sont coupés par une droite DE parallèle à BC, les points A, B et D sont alignés. Les points A, C et E sont également alignés et on a les rapports suivants :
$$\frac{\color{magenta}AD}{\color{red}AB} = \frac{\color{magenta}AE}{\color{red}AC} = \frac{\color{magenta}DE}{\color{red}BC}$$
OU
$$\frac{\color{red}AB}{\color{magenta}AD} = \frac{\color{red}AC}{\color{magenta}AE} = \frac{\color{red}BC}{\color{magenta}DE}$$
Histoire de la propriété de Thalès
Comprendre la propriété de Thalès par des exemples
Reprenons les 3 dessins différents sur cette page pour appliquer 3 exemples d’exercice.
Exemple 1 :
Deux droites sécantes (AB) et (AC) sont coupées par les droites (DE) et (CB). De plus (DE) // (BC).
On a AB = 5 cm ; BC = 4 cm ; AC = 6 cm et AE = 1 cm.
Combien mesure AD ? Arrondir au centième.
(AB) et (AC) sont sécantes en A et (BC) // (DE) donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
$$\frac{\color{red}AB}{\color{magenta}AD} = \frac{\color{red}AC}{\color{magenta}AE} = \frac{\color{red}BC}{\color{magenta}DE}$$
L’objectif va être de réaliser un produit en croix avec cette formule ci-dessus. Mais pour faire notre produit en croix nous n’allons garder que 2 rapports sur les 3 proposés.
On ne connait pas toutes les mesures des côtés :
$$\frac{\color{red}5}{\color{magenta}AD} = \frac{\color{red}6}{\color{magenta}1} = \frac{\color{red}4}{\color{magenta}DE\ ???}$$
Donc on ne va garder que les rapports les plus intéressants :
-Le rapport où il y a la mesure cherchée, c’est à dire AD.
-Le rapport où on a bien les 2 mesures (AC est connue car AC = 6 cm et AE est connue car AE = 1 cm)
$$\frac{\color{red}5}{\color{magenta}AD} = \frac{\color{red}6}{\color{magenta}1}$$
Il faut ensuite bien maîtriser la règle de 3 (souvent appelée produit en croix ou détermination de la quatrième proportionnelle) :
$${\color{magenta}AD}\ \times\ {\color{red}AC}\ =\ {\color{red}AB}\ \times\ {\color{magenta}AE}$$
En remplaçant par les mesures données dans l’énoncé :
$${\color{magenta}AD}\ \times\ {\color{red}6}\ =\ {\color{red}5}\ \times\ {\color{magenta}1}$$
En isolant la valeur cherchée AD, on obtient :
$${\color{magenta}AD}\ = \frac{{\color{red}5}\ \times\ {\color{magenta}1}}{\color{red}6}\ =\ 0,83\ cm$$
Exemple 2 :
Deux droites sécantes (AB) et (AC) sont coupées par les droites (DE) et (CB). De plus (DE) // (BC).
On a AD = 4 m ; BC = 6 m ; DE = 3 m et AC = 5 m.
Combien mesure AB ? Arrondir au dixième.
(AB) et (AC) sont sécantes en A et (BC) // (DE) donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
$$\frac{\color{magenta}AD}{\color{red}AB} = \frac{\color{magenta}AE}{\color{red}AC} = \frac{\color{magenta}DE}{\color{red}BC}$$
L’objectif va être de réaliser un produit en croix avec cette formule ci-dessus. Mais pour faire notre produit en croix nous n’allons garder que 2 rapports sur les 3 proposés.
On ne connait pas toutes les mesures des côtés :
$$\frac{\color{magenta}4}{\color{red}AB} = \frac{\color{magenta}AE\ ???}{\color{red}5} = \frac{\color{magenta}3}{\color{red}6}$$
Donc on ne va garder que les rapports les plus intéressants :
-Le rapport où il y a la mesure cherchée, c’est à dire AB.
-Le rapport où on a bien les 2 mesures (DE est connue car DE = 3 m et BC est connue car BC = 6 m)
$$\frac{\color{magenta}4}{\color{red}AB} = \frac{\color{magenta}3}{\color{red}6}$$
Il faut ensuite bien maîtriser la règle de 3 (souvent appelée produit en croix ou détermination de la quatrième proportionnelle) :
$${\color{red}AB}\ \times\ {\color{magenta}DE}\ =\ {\color{magenta}AD}\ \times\ {\color{red}BC}$$
En remplaçant par les mesures données dans l’énoncé :
$${\color{red}AB}\ \times\ {\color{magenta}3}\ =\ {\color{magenta}4}\ \times\ {\color{red}6}$$
En isolant la valeur cherchée AD, on obtient :
$${\color{red}AB}\ = \frac{{\color{magenta}4}\ \times\ {\color{red}6}}{\color{magenta}3}\ =\ 8\ m$$
Exemple 3 (Réciproque de Thalès) :
Les triangles ABC et ADE représentés ci-dessous ont un sommet en commun : le point A.
Montrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Les droites (AE) et (AB) sont sécantes en A.
$$\frac{\color{red}AC}{\color{magenta}AE} = \frac{\color{red}6}{\color{magenta}3}\ =\ 2$$
$$\frac{\color{red}BC}{\color{magenta}DE} = \frac{\color{red}4}{\color{magenta}2}\ =\ 2$$
Ainsi, on peut dire que :
$$\frac{\color{red}AC}{\color{magenta}AE} = \frac{\color{red}BC}{\color{magenta}DE}$$
Ainsi les points C, A, E et B, A, D sont alignés dans le même ordre.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.