A quoi sert la propriété de Pythagore ?
La propriété de Pythagore permet de trouver une longueur inconnue en géométrie dans un triangle rectangle.
Il existe également la réciproque de Pythagore : elle permet de démontrer qu’un triangle est bien rectangle.
Comment savoir si on peut appliquer Pythagore ?
Lorsqu’on travaille dans un triangle rectangle alors on est autorisé à appliquer la propriété de Pythagore.
Que nous dit la propriété de Pythagore ?
Sur chaque dessin ci-dessus, on a 3 triangles rectangles. On peut donc appliquer la propriété de Pythagore.
La longueur de l’hypoténuse (côté le plus grand du triangle) élevé au carré est égal à la longueur du deuxième côté élevé au carré qu’on ajoute à la longueur du troisième côté élevé au carré. Plus simplement :
$\color{green}Hypoténuse^2\ =\ \color{blue}DeuxièmeCôté^2\ +\ \color{blue}TroisièmeCôté^2$
Histoire de la propriété de Pythagore
Comprendre la propriété de Pythagore par des exemples
Reprenons les 3 dessins différents sur cette page pour appliquer 3 exemples d’exercice.
Exemple 1 :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a AB = 6 cm et AC = 8 cm. Quelle est la longueur de BC ? Arrondir à l’unité.
Le triangle ABC est rectangle en A donc j’applique la propriété de Pythagore :
$\color{green}BC^2\ =\ \color{blue}AC^2\ +\ \color{blue}AB^2$
Pour trouver la longueur BC et se débarrasser du carré (la puissance 2), on utilise la racine carrée :
$\color{green}BC\ =\ \color{black}\sqrt{\color{blue}AC^2\ +\ AB^2}$
On remplace par les valeurs connues :
$\color{green}BC\ =\ \color{black}\sqrt{\color{blue}8^2\ +\ 6^2}$
$\color{green}BC\ =\ \color{black}\sqrt{\color{blue}64\ +\ \color{blue}36}$
$\color{green}BC\ =\ \color{black}\sqrt{100}$
$\color{green}BC\ =\ \color{black}10$
La longueur BC est de 10 cm.
Exemple 2 :
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a BC = 5 cm et AC = 8 cm. Quelle est la longueur de AB ?
Arrondir à $10^{-3}.$
Le triangle ABC est rectangle en B donc j’applique la propriété de Pythagore :
$\color{green}AC^2\ =\ \color{blue}BC^2\ +\ \color{blue}AB^2$
On isole la valeur de AB² avant de trouver AB :
$\color{blue}AB^2\ =\ \color{green}AC^2\ -\ \color{blue}BC^2$
Pour trouver la longueur AB et se débarrasser du carré (la puissance 2), on utilise la racine carrée :
$\color{blue}AB\ =\ \color{black}\sqrt{\color{green}AC^2\ -\ \color{blue}BC^2}$
On remplace par les valeurs connues :
$\color{blue}AB\ =\ \color{black}\sqrt{\color{green}8^2\ -\ \color{blue}5^2}$
$\color{blue}AB\ =\ \color{black}\sqrt{\color{green}64\ -\ \color{blue}25}$
$\color{blue}AB\ =\ \color{black}\sqrt{39}$
$\color{blue}AB\ =\ \color{black}6,244997998$
La longueur AB est de 6,245 cm.
Exemple 3 :
Dans le triangle ABC, on a AB = 25 cm, AC = 15 cm et BC = 20 cm. Est-ce que ce triangle est rectangle en C ?
Pour savoir si ce triangle est rectangle en C, j’applique la réciproque de la propriété de Pythagore (on vérifie que la valeur de l’hypoténuse² est égal à la somme de AC² et de BC²).
1ère étape, on calcule AB² :
$\color{green}AB^2\ =\ 25^2\ =\ 625$
2ème étape, on calcule AC² + BC² :
$\color{blue}AC^2\ +\ \color{blue}BC^2\ =\ \color{blue}15^2\ +\ \color{blue}20^2\ =\ 225\ +\ 400\ =\ 625$
3ème étape, on compare la valeur de l’hypoténuse² trouvée et la valeur de AC² + BC² :
On constate que $\color{green}AB^2\ =\ \color{blue}AC^2\ +\ \color{blue}BC^2\ \color{black}=\ \textbf{625}$
4ème étape, on conclue :
On a AB² = AC² + BC² donc le triangle ABC est bien rectangle en C d’après la réciproque de Pythagore.