Un nombre est irrationnel lorsqu’on ne peut pas l’écrire sous la forme d’une fraction avec un nombre entier au numérateur et un nombre entier au dénominateur. Ce nombre a sa décimale infinie et non périodique.
Exemple 1 : un nombre qui est rationnel
Le nombre 12 peut s’écrire $\frac{24}{2}$ par exemple car si on divise 24 par 2 on obtient bien 12 en résultat. 12 est donc bien un nombre rationnel.
Exemple 2 : un autre nombre qui est rationnel
Si maintenant j’écris la fraction $\frac{10}{3}$ par exemple, on obtient comme résultat 3,33333333333… Effectivement on constate que le résultat n’est pas un nombre entier, la décimale est infinie mais elle est périodique (on retombe tout le temps sur les mêmes chiffres 3 à droite de la virgule). C’est donc bien un nombre rationnel. En plus on a vu qu’il pouvait s’écrire sous la forme d’une fraction avec le nombre entier 10 au numérateur et le nombre entier 3 au dénominateur.
Exemple 3 : un dernier exemple de nombre rationnel
Si j’écris la fraction $\frac{23}{99}$, on obtient comme résultat 0,232323232323… Effectivement on constate que le résultat n’est pas un nombre entier, la décimale est infinie mais elle est périodique comme pour l’exemple 2 (on retombe tout le temps sur les mêmes chiffres 2 et 3 à droite de la virgule). C’est donc bien un nombre rationnel. De plus on a vu qu’il pouvait s’écrire sous la forme d’une fraction avec le nombre entier 23 au numérateur et le nombre entier 99 au dénominateur.
Exemple 4 : le nombre pi
Et oui, le nombre pi est bel et bien un nombre irrationnel.
$\pi = 3,141592653…$
On constate clairement que ce nombre n’est pas fini. En plus, les valeurs décimales (à droite de la virgule) ne sont pas périodiques (il n’y a pas de répétition de certains chiffres comme on le voit sur l’exemple 2 et 3). Ce nombre est donc irrationnel, on ne peut pas l’écrire sous forme de fraction avec 2 entiers.
Vous voulez en savoir davantage sur le nombre pi ? Ce nombre reste encore un peu flou dans votre esprit? Vous pouvez jeter un œil rapide à la section : qu’est-ce que le nombre pi ?
Si vous ne savez pas comment le taper sur votre calculatrice, tout est expliqué ici.
Exemple 5 : le nombre d’Euler
Le nombre d’Euler n’est pas rationnel. Il fait partie des nombres irrationnels.
$e = 2,718281828…$
On observe que ce nombre est infini. De plus, les valeurs décimales (à droite de la virgule) ne sont pas périodiques. Ce nombre est donc lui aussi irrationnel, on ne peut pas l’écrire sous forme de fraction avec 2 entiers.